Denna fil är konverterad från textformat till html-format. Vid konverteringen ändrades uppsatsen något. Bl. a. försvann fotnoterna och några av bilderna förändrades en aning. Jag hoppas kunna lösa dessa problem i framtiden. Uppsatsen måste dock kunna sägas vara fullt läsvärd även i detta skick.

Synpunkter och glada tillrop skickas till:
anders.jader@swipnet.se eller: magnus.larsson.8787@student.uu.se

NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN
Uppsala universitet
Uppsats fortsättningskurs C
Handledare: Professor Jonas *******
Författare: Anders Jäder
Magnus Larsson
Vårterminen 1997











Mean variance modellen

Innehållsförteckning

1. Inledning 3
2. Teorin bakom mean variance modellen, samt en teoretisk utvärdering av förvaltares resultat 5
2.1 Val under osäkerhet 5
2.2 Risk och förväntad avkastning 7
2.3 Optimering av en portföljs risknivå vid olika korrelationskoefficienter 11
2.4 Effektiv front 14
2.4.1 Formell beräkning av den effektiva fronten, blankning och riskfri in- och utlåning tillåten. 15
2.4.2 Blankning tillåten, men ej riskfri in- och utlåning 18
2.4.3 Riskfri in och utlåning, blankning ej tillåten 19
2.4.4 Blankning och riskfri in- och utlåning ej tillåten 21
2.5 Teoretisk utvärdering av förvaltares resultat 22
2.5.1 Sharpes mått 23
2.5.2 Differential return 24
3. Vår modellportfölj 27
3.1 Index som spegel av marknader 27
3.2 Kalibrering av portfölj 30
3.2.1 Blankning och riskfri in- och utlåning tillåten 32
3.2.2 Riskfri in- och utlåning, blankning ej tillåten 34
3.3 Diversifiering av risk i vår portfölj 35
3.4 Olika tillämpningar av mean variance teorin 36
4. Jämförelse mellan vår modell och aktör på marknaden 38
4.1 Nobelsstiftelsen kontra aktiedelen av modellportföljen - kalibrering och utvärdering i skilda perioder 39
4.2 Nobelstiftelsen kontra aktiedelen av modellportföljen - kalibrering och utvärdering i samma period 40
4.3 Orsaker till Nobelstiftelsens resultat 44
4.4 Känslighetsanalys 46
5. Sammanfattning och slutsatser 48
Källförteckning 50



1. Inledning

Portföljförvaltning är i dag i det närmaste att beteckna som en industri. Det finns en mängd placerare som förvaltar allt ifrån privata förmögenheter till löntagares pensionssparande. Portföljförvaltningen har växt dramatiskt de senaste tjugo åren och idag kan en vanlig småsparare enkelt spara i både aktier och räntebärande papper runtom i världen. Intresset har växt då det visat sig att man kan nå högre avkastning på sitt kapital till en begränsad risk när man investerar i en portfölj av tillgångar. Somliga förvaltare påstår sig kunna ge bättre avkastning än jämförbara index år efter år. De ägnar sig åt aktiv förvaltning och tror sig kunna spå marknadens utveckling bättre än andra. Andra förvaltare placerar precis som index. Vilket som är bäst tvistas det fortfarande om. Alla förvaltare håller dock väldiversifierade portföljer med en mängd tillgångar. Det är ett etablerat faktum att man genom att hålla tillgångar som inte samvarierar exakt med varandra kan nå en högre avkastning vid given risk. Detta kan sägas vara grunden till modern portföljförvaltning oavsett vilken typ av förvaltare som placerar tillgångarna.

Fördelarna med diversifiering visas tydligt i mean variance modellen. Den visar att man bör hålla en mängd tillgångar så länge de inte har en perfekt samvariation för att öka förvaltarens resultat och därmed nyttan hos kunderna. Detta oavsett om det är nationella eller internationella tillgångar som aktier, räntebärande papper fastigheter med mera. Detta kan förklara varför svenska försäkringsbolag börjat placera betydande tillgångar i utlandet det senaste året, sedan lagstiftningen förändrats, för att få en bättre sammansatt portfölj.

Portföljteorin bör i dag vara väl känd bland marknadens aktörer. Deras portföljer bör därför vara effektiva, i den meningen att deras avkastning är optimerad vid en given risk. Det borde inte vara möjligt att idag sätta ihop en portfölj enligt mean variancemodellen och nå ett signifikant bättre resultat över en tidsrymd än en marknadsaktör.

Syftet med denna uppsats är att beskriva den grundläggande portföljteorin i form av den så kallade mean variance modellen och undersöka om aktörer på marknaden håller lika effektiva portföljer som våra tillämpningar av samma modell kan ge.

Som grund för den fortsatta framställningen börjar vi uppsatsen med en teoretisk genomgång av mean variance modellen. Vi förklarar här även hur man gör lämpliga jämförelser mellan aktörer som har olika risk i sin portfölj. Vidare sätter vi ihop en egen portfölj som bygger på den just genomgångna teorin. Modellen som vi sätter ihop är internationellt diversifierad med en rad olika tillgångar. Vi har valt aktier och obligationer i Sverige, Japan, Tyskland och U.S.A samt fastigheter i de tre förstnämnda länderna. Vi har valt dessa tillgångar då de representerar fyra viktiga valutaområden och tillgångarna är lätt omsättningsbara på en internationell marknad. Vår modell jämförs sedan med en aktör på den svenska kapitalmarknaden och vi diskuterar de framkomna resultaten, bland annat ser vi hur dessa beror av den valda tidsperioden. Slutligen genomför vi en känslighetsanalys av modellen där vi ser hur pass känslig vår modellportfölj är för en del approximationer vi gjort tidigare i uppsatsen.

Vi begränsar oss i jämförelsen så tillvida att vi endast ser på en svensk aktör som räknar avkastning i svenska kronor. Aktören ska dessutom inte vara kraftigt inskränkt av lagar, förordningar och dylikt. De tillgångar som ingår i vår modell är begränsade till aktier, obligationer och fastigheter då vi lyckats få fram tillförlitliga data för dessa under en lång tidsperiod. Vi har funnit Nobelstiftelsen som en lämplig aktör att utvärdera mean variance modellen emot. Nobelstiftelsen har tillgångar i både aktier, räntebärande papper och fastigheter i ett flertal länder, vilket i stort motsvaras av de tillgångar vi valt att ta med i vår modellportfölj. Vi begränsar oss också på så sätt att vi inte tar hänsyn till transaktionskostnader.

De grunddata vi använder i vår modell har vi dels erhållit från Hansson och partners och Marknadsaktuellt AB via databasen Ecowin, samt ifrån Nordbanken Kapitalförvaltning AB. Dessa data har arbetats om av oss för att kunna användas för framtagandet av effektiva portföljer. Vid kalibreringen av modellen använder vi ett dataprogram, The investment portfolio som är utvecklat av Edwin J Elton, Martin J Gruber och Christopher R Blake i samarbete med IntelliPro, inc.

2. Teorin bakom mean variance modellen, samt en teoretisk utvärdering av förvaltares resultat

Det här kapitlet kommer att ge en teoretisk grund till portföljteori samt en teoretisk beskrivning av olika jämförelsemått som vi sedan, i kapitel 4 använder för att utvärdera Nobelstiftelsens resultat. Den grundläggande portföljteorin låter vi här representeras av mean variance modellen. Vi börjar detta kapitel med att beskriva hur man teoretiskt konstruerar en portfölj enligt denna modell för att i slutet av kapitlet övergå till att teoretiskt beskriva olika jämförelsemått. Dessa mått är intressanta då vi senare i uppsatsen kommer att göra en jämförelse mellan en portfölj som är uppbygd enligt mean variance modellens principer med en portfölj som förvaltas av en professionell aktör, Nobelstiftelsen.

Förvaltare som använder nämnda modell önskar minimera sin risk vid given förväntad avkastning. Låt oss börja den teoretiska modellframställningen med att kort förklara varför. Vi går då till mikroteorin och antagandet att individer är nyttomaximerande.

2.1 Val under osäkerhet

Ett grundläggande antagande i mikroteorin är att individer är nyttomaximerande. Beskriver man nyttan som en funktion av inkomst, kommer funktionen enligt mikroteoretiska antaganden att få det principiella utseende som illustreras i figur 2.1, där x är individens inkomst och U är hans nytta. Vi ser att nyttofunktionen blir konkav vilket speglar individens avtagande marginalnytta.


Konkaviteten implicerar också att individen är riskavert. Han kommer att föredra en säker inkomst framför en osäker inkomst. Låt oss ta följande exempel: Vi har två möjliga inkomstutfall. Inkomst ger nyttan och inkomst ger nyttan . Antag att inkomstutfallet är osäkert, dvs individen vet ej vilken av de två inkomsterna han kommer att erhålla. Han vet dock sannolikheterna för respektive utfall och därmed vilket utfall han i genomsnitt kommer att få. De möjliga utfallen representeras av den räta linjen mellan och . Antag att det genomsnittliga utfallet är och att detta utfall medför nyttan , vilket är ett sannolikhetsvägt genomsnitt av de två möjliga nyttorna. Individen skulle kunna nå samma nytta med en lägre inkomst om den vore riskfri. Den så kallade riskfria ekvivalenten är i detta exempel . Så länge individen är riskavert, det vill säga så länge hans nyttofunktion är konkav, är .

I portföljteorin likställer vi inkomst med avkastning. Förvaltaren kommer alltså att minimera sin risk, givet förväntad avkastning eftersom han därmed maximerar sin nytta. Låt oss gå över till förklara hur man i portföljteorin behandlar begrepp som förväntad avkastning och risk.

2.2 Risk och förväntad avkastning

Studerar man en tidsserie över tillgångars faktiska avkastning kan man i de flesta fall notera att de varierar över tiden. Olika tillgångar kan dessutom ha olika volatilitet. En tillgång med kraftig volatilitet ses i mean variance teorin som mer riskfylld, eftersom det då är svårare att förutsäga förväntad avkastning. Spridningsmåttet som här används för att beskriva volatiliteten är variansen. Variansen är ett mått som beskriver avvikelsen kring det aritmetiska medelvärdet och betecknas med . Genom att hålla en tillgång som har en låg varians kan man nå en säkrare framtida avkastning och därmed, enligt tidigare resonemang, acceptera en lägre avkastning vid given nyttonivå. Vi betraktar nedanstående två fingerade tidsserier i figur 2.2 och 2.3. Vi ser att de inte samvarierar med varandra och vi kan därmed hålla en andel av varje tillgång för att skapa en portfölj som ger lägre varians än vad vi har i respektive tillgång. Vi ser detta i figur 2.4.

Figur 2.2. Fingerad tidsserie för värdepapper 1.

Figur 2.3. Fingerad tidsserie för värdepapper 2

Figur 2.4. Tidsserie över en portfölj innehållande 50% av värdepapper 1, och 50% av värdepapper 2

Källa figur 2.2-2.4: Egen produktion.

Vi har i portföljen diversifierat bort en del av respektive tillgångs unika risk. Kvar i portföljen finns den systematiska risken, den så kallade marknadsrisken, vilken man inte kan diversifiera bort.

Vi har nu använt oss av begrepp såsom förväntad avkastning, varians samt systematisk- och unik risk. Låt oss definiera dessa för modellen nödvändiga begrepp för att förenkla den fortsatta framställningen.

Avkastningen på en tillgång erhålls både i form av utdelning och i form av kapitalvinst. Summan av utdelning och kapitalvinst är en tillgångs faktiska totala avkastning och vi kan formellt skriva, för en godtycklig tillgång i,

(2.1)

där = Stängningspris för perioden

D = Utdelning för perioden

= Stängningspris i förgående period.

Den förväntade avkastningen på den i:te tillgången ges formellt av följande ekvation,

E(R) = = . (2.2)

där P = sannolikheten för den j:te avkastningen på den i:te tillgången och = 1.

R= j:te möjliga utfallet för den i:te tillgången.

Variansen är som vi tidigare sagt ett mått som beskriver avvikelsen kring det aritmetiska medelvärdet. Vi har följande definition,

= . (2.3)

Sannolikheten för varje utfall är inte alltid lika. Vi har därför multiplicerat med respektive utfalls sannolikhet. Drar vi kvadratroten ur variansen erhåller vi standardavvikelsen som också är ett mått som ofta används. Standardavvikelsen för den i:te tillgången betecknas .

Avkastningen på en enskild tillgång är ofta beroende av avkastningen på marknaden som helhet. Vissa tillgångar reagerar kraftigt på marknadsrörelser medan andra reagerar mindre. Genom att anpassa en regressionslinje till historiska data, exempelvis över en enskild aktie och aktiemarknaden, kan man mäta hur stor aktiens historiska marknadskänslighet har varit.

En akties avkastning kan alltså delas upp i dels en marknadsberoende del, där är marknadens avkastning och där anger aktiens marknadskänslighet, dels en marknadsoberoende del ,. Vi får följande regressionssamband,

. (2.4)

Risken i en tillgång kan på motsvarande sätt delas upp i en marknadsberoende del, , och en marknadsoberoende del, . Den sistnämnda brukar även kallas unik eller diversifierbar risk. Tillgång i:s risk mätt som varians blir,

. (2.5)

Om man håller en portfölj med tillräckligt många tillgångar som ej är perfekt korrelerade, , kan den unika risken diversifieras bort och bara marknadsrisken återstår. En väldiversifierad portföljs varians blir då,

, eller som standardavvikelse . (2.6, 2.7)

En portföljs risk ,, är ett vägt genomsnitt av de individuella riskerna . Nyttan av att hålla en väldiversifierad portfölj kan illustreras med figur 2.5.Vi ser att nyttan består i att man kan få bort unik risk genom att hålla ett flertal tillgångar.

Figur 2.5 Diversifiering av unik risk

Källa: Brealey and Myers (1996), s. 156.

Förväntad avkastning och risk är som sagt två mycket centrala mått i mean variance modellen. Vi har sett att vi genom att hålla en portfölj med tillgångar kan få ner en tillgångs unika risk. Det blir därför intressant att visa hur vi kan ta fram förväntad avkastning och risk på en portfölj samt hur vi kan optimera portföljrisken vid olika korrelationskoefficienter.

2.3 Optimering av en portföljs risknivå vid olika korrelationskoefficienter

Då en portfölj innehåller mer än en tillgång behöver vi utveckla måtten förväntad avkastning och risk för att gälla en portfölj med N olika tillgångar. Vi har , där Xär respektive tillgångs andel av portföljen. Den förväntade avkastningen på en portfölj är detsamma som det vägda genomsnittet av de förväntade avkastningarna på respektive tillgång.

Formellt skriver vi, E(R. (2.8)

Portföljvariansen skriver vi som,

, (2.9)

där är kovariansen mellan den i:te och j:te tillgången. Kovariansen beskriver samvariationen mellan två tillgångar. Det är svårt att tolka styrkan i samvariationen med hjälp av kovariansen. Man brukar därför relatera den till produkten av respektive tillgångs standardavvikelse, . Vi erhåller då , korrelationskoefficienten som kan variera mellan +1 och -1. Vi kan då skriva om ekvation (2.9) som,

. (2.10)

Genom att studera ekvation (2.10) ovan ser vi att då vi inte har någon samvariation mellan olika tillgångar kommer andra termen att försvinna och portföljvariansen kommer att minskas. Har vi en negativ samvarians kommer portföljvariansen att bli ännu mindre. Vi kommer nedan se att då korrelationskoefficinten är -1 kan vi diversifiera bort all risk. Av ekvation (2.10) följer också att så länge kommer vi genom att hålla fler tillgångar kunna minska portföljvariansen. För att förtydliga vad vi menar tittar vi på en grafisk lösning. I figur 2.6 har vi prickat in två tillgångar, A och B, med olika risk och förväntad avkastning. Figuren visar hur olika portföljer av dessa tillgångar ser ut i risk och avkastningshänseende vid olika korrelationskoefficienter. Vi visar extremfallen samt när . På y-axeln har vi portföljens förväntade avkastning och på x-axeln har vi portföljens standardavvikelse.

Figur 2.6 Relation mellan förväntad avkastning och risk vid olika korrelationskoefficienter, två tillgångar.

I det fall då = +1 kan vi inte diversifiera bort någon risk och vi kommer bara att kunna nå en högre förväntad avkastning då vi ökar risken i portföljen. I figur 2.6 illustreras detta av den räta linjen mellan A och B.

När = -1 kan vi genom att hålla en viss andel av respektive tillgång diversifiera bort all risk. I figur 2.6 representeras detta av beröringspunkten med y-axeln. Vi kan visa detta matematiskt genom att först titta på portföljvariansen. Notera att vi i detta fall endast har två tillgångar och att .

, (2.11)

drar vi kvadratroten ur detta får vi standardavvikelsen,

, (2.12)

eller . (2.13)

Sätter vi de två lösningarna för standardavvikelsen lika med noll och löser ekvationsssystemet erhåller vi värden på X och X enligt följande,

X, (2.14)

X. (2.15)

Notera att vi i detta extremfall med noll risk kommer att hålla positiva andelar av både tillgång A och B, vilket vi även ser i formeln ovan, då och >0. Genom att förändra andelen i respektive tillgång kan vi röra oss utefter en positivt lutande rät linje eller en negativt lutande rät linje vilket illustreras i figur 2.6 ovan.

Då ligger mellan +1 och -1, exempelvis vid 0, kommer vi att röra oss längs med en icke linjär linje som samma figur visar. Ju lägre vi har ju mer kommer linjen att bukta ifrån den räta linjen A-B. Portföljrisken i detta fall med två tillgångar blir,

. (2.16)

Vi kan nu inte diversifiera bort all risk, men vi kan minimera risken i portföljen genom att hålla vissa andelar i respektive tillgång. Vi får fram respektive tillgångsandel genom att derivera portföljens standardavvikelse med avseende på X, och sätta derivatan lika med noll.

= 0 (2.17)

X. (2.18)

Vi har nu sett hur vi kan mäta risk i en portfölj med två tillgångar. När vi mäter risk i en portfölj bestående av N stycken tillgångar kan vi på samma sätt som i fallet med två tillgångar, inte bara ta hänsyn till risk och förväntad avkastning på de individuella tillgångarna, utan måste även se hur de samvarierar med varandra. Vi såg i figur 2.6 olika relationer mellan risk och förväntad avkastning. Delar av dessa relationer benämns effektiv front och är alltså de portföljer som har högst förväntad avkastning vid given risk. Den effektiva fronten kan även beräknas för N antal tillgångar. Om man vill ha en portfölj med högre avkastning måste man alltså acceptera en högre risk. Låt oss nedan visa hur man mer formellt tar fram den effektiva fronten för ett godtyckligt antal tillgångar.

2.4 Effektiv front

Genom att i figur 2.7 rita upp alla möjliga portföljutfall och markera den effektiva fronten får vi en illustration till det vi sagt ovan. Alla optimala portföljer måste ligga längs med den effektiva fronten eftersom varje punkt under den ger lägre förväntad avkastning vid given risk. Den effektiva fronten måste dessutom vara konkav, dock inte strikt konkav, och detta gäller generellt i alla portföljproblem. Det framgick också av figur 2.6 med två tillgångar.

Figur 2.7 Effektiv front, godtyckligt antal tillgångar.

Källa: Elton-Gruber (1991), s. 53.

Med andra ord kan man säga att en portfölj är effektiv om kombinationen av dess förväntade avkastning och risk är effektiv, det finns ingen annan möjlig portfölj som ger högre förväntad avkastning vid given risknivå. Den effektiva fronten innehåller en rad optimala portföljer. Vill vi ta fram endast en optimal portfölj kan man tänka sig att det existerar en riskfri tillgång som en förvaltare kan spara och låna till. Vi kan sedan välja hur stor andel vi vill hålla i denna optimala portfölj. Låt oss nu gå över nu över till att ta fram den effektiva fronten och en optimal portfölj på ett formellt sätt. Vi kommer att se att vi får olika resultat beroende på om vi kan låna och spara till riskfri ränta, om vi tillåter blankning eller inte.

2.4.1 Formell beräkning av den effektiva fronten, blankning och riskfri in- och utlåning tillåten.

Låt oss börja med den enklaste fallet där vi tillåter både riskfri in- och utlåning och blankning. Riskfri in- och utlåning innebär att vi kan låna och spara i en tillgång som är riskfri, det vill säga har standardavvikelsen noll. Blankning innebär att vi kan sälja tillgångar vi inte äger. Låt oss börja med att visa en grafisk lösning i figur 2.8. Figuren överensstämmer väl med figur 2.7 med den skillnaden att vi här har lagt in den riskfria räntan, . Vi ser att vi kommer att få en optimal portfölj vid punkt B. När vi befinner oss vid punkt A, kan vi nå en högre förväntad avkastning genom att hålla en del i riskfri tillgång och en del i tillgång B. Vi når då upp till den räta linje som ligger ovanför punkt A. När vi befinner oss i punkt B håller vi hundra procent i den optimala portföljen. Genom att spara en del i riskfri tillgång rör vi oss till vänster längs den räta linjen. Genom att låna till riskfri ränta och placera i den optimala portföljen rör vi oss åt höger längs den räta linjen. Oavsett vår nivå på riskaversion är det optimalt att hålla en del utav den optimala portföljen. Låt oss nu visa den formella beräkningen.




Figur 2.8 Optimal portfölj

Källa: Elton-Gruber (1991), s. 60.

Riktningskoefficienten på den räta linjen som passerar genom punkt B definieras och vi kallar den för . Maximerar vi under restriktionen att med avseende på Xkommer vi att finna de optimala tillgångsandelarna. Vi kan sätta upp en Lagrangefunktion eller kanske enklare, substituera in restriktionen i målfunktionen och sedan derivera denna med avseende på . Sätt därefter derivatan lika med noll.

(2.19)

, (2.20)

i = 1,…,N.

Där . (2.21)

Notera att varje Xär multiplicerad med . Definierar vi en ny variabel Z, där X är den andel vi investerar i respektive tillgång, ser vi att Zär proportionell mot denna. Vi får då framgent en enklare notation. Substituerar vi in den nya variabeln i ekvation (2.20) kommer vi få ett ekvationssystem där vi löser ut N olika tillgångsandelar. Vi får följande ekvation,

. (2.22)

För att förtydliga kan vi skriva i matrisform,

. (2.23)

Då vi har N obekanta och N ekvationer kan vi lösa systemet. Den optimala andelen att investera i respektive tillgång är X,

där . (2.24)

Det är inte alltid möjligt för en investerare att låna och spara till riskfri ränta. Om vi tar bort den riskfria räntan får vi ta fram hela den effektiva fronten, där förvaltaren sedan kan välja optimal portfölj vid given risknivå. Vi ser nedan på det formella tillvägagångssättet.

2.4.2 Blankning tillåten, men ej riskfri in- och utlåning

Den optimala andelen att investera i respektive tillgång är en linjär funktion av den riskfria räntan. Genom att anta två olika nivåer på den riskfria räntan kan vi ta fram hela den effektiva fronten. Låt oss först visa att vi har ett linjärt förhållande.

När vi löste ekvationssystemet ovan stoppade vi in värden på och , men vi kan betrakta R som en generell parameter och lösa Zsom en funktion av R. Vi får där och är konstanter som har olika värden för varje tillgång men som inte varierar med R. Vi kan skriva detta i matrisform,

. (2.25)

När vi räknat fram optimala i termer av R kan vi genom att variera Röver lämpligt intervall få fram hur mycket vi ska investera i respektive tillgång längs den effektiva fronten.

I stället för att ta fram ett generellt värde på Zkan vi direkt ta fram två stycken optimala portföljer vid skilda riskfria räntor. Genom att ta fram alla kombinationer av dessa tillgångar får vi fram den effektiva fronten. Det visar sig att det senare alternativet är ett mer lämpligt sätt. Vi illustrerar ovanstående grafiskt i figur 2.9.








Figur 2.9 Optimala portföljer vid olika räntesatser

Källa: Elton-Gruber (1991), s. 71.

Vi kan i matris (2.25) notera att vi nästan alltid kommer att hålla en viss andel av varje tillgång, positiv eller negativ. Enda tillfället vi inte håller en tillgång är när . Alla tillgångar tillför portföljen värde. Om en tillgångs karakteristiska är oattraktiv bör vi hålla en negativ andel av den, och därmed överlåta dess egenskaper åt en annan aktör. Det förutsätter att andra aktörer har en annan uppfattning om vad som är attraktivt och inte.

Det är dock inte alltid tillåtet att hålla negativa andelar av en tillgång. Vi går därför över till att se hur vi beräknar en optimal portfölj när vi inte tillåter blankning. I avsnitt 2.4.3 och 2.4.4 framställer vi endast problemformuleringen då den matematiska lösningen inte tillför uppsatsen något mervärde.

2.4.3 Riskfri in och utlåning, blankning ej tillåten

Det här problemet är analogt med 2.4.1 när vi tillät blankning. Då kunde de optimala portföljandelarna vara negativa. Det får de nu inte vara och vi måste därför lägga till ytterligare en restriktion, nämligen . Vi har då följande problem,

Maximera (2.26)

u.b 1.

2. .

Detta problem är inte ett linjärt problem som vi haft tidigare utan ett kvadratiskt. När vi löser detta problem kan vi inte gå tillväga på samma sätt som tidigare. Då definierade vi en ny variabel, , och deriverade den med avseende på portföljandelarna och satte derivatan lika med noll. Nu räcker det inte med att vi optimerar , vi måste också uppfylla bivillkor två. Vi försöker illustrera problematiken i figur 2.10.

Figur 2.10 optimering när blankning ej är tillåten.

2.10a 2.10b

Källa:Elton-Gruber (1991), s. 88.

I figur 2.10a ser vi att den nya restriktionen inte är bindande. Restriktionen påverkar alltså inte lösningen. I figur 2.10b är däremot restriktionen bindande och påverkar lösningen. Vi kan lösa problemet genom att tillföra ytterligare en restriktion,. Vi ser i figur 2.10b att när optimum ligger i M´ kommer lösningen att hamna där = 0. Vi har alltså att när = 0 är och när är = 0, vi har då även täckt in specialfallet där är optimerat när = 0.Vi kan sammanfatta detta genom att ställa upp problemet enligt följande.

Maximera (2.27)

u.b 1.

2.

  2. .

Om vi nu hittar en lösning som uppfyller dessa villkor har vi funnit en optimal portfölj. Den matematiska lösningen är här som vi tidigare sa överflödig och tillför inte uppsatsen något extra. För den matematiskt intresserade kan vi nämna att det vi ovan presenterat är Kuhn-Tucker villkoren.

Vi har nu kvar ett fjärde fall som vi kan beräkna fram den effektiva fronten på. Det är när vi varken tillåter blankning eller riskfri in- och utlåning.

2.4.4 Blankning och riskfri in- och utlåning ej tillåten

Kom nu ihåg att vi hittar den effektiva fronten genom att minimera risken i portföljen vid given förväntad avkastning. För att hitta en punkt på den effektiva fronten har vi följande problem.

Minimera (2.28)

u.b. 1.

  2. i=1,...,N.

Genom att variera mellan den effektiva portfölj som har den lägsta och största variansen kommer vi att staka ut hela den effektiva fronten. Återigen har vi ett icke linjärt problem och lösningen blir mer matematiskt än ekonomisk. Vi tror återigen att en matematisk lösning inte tillför uppsatsen något mervärde. Vi kan dock tilläga att det går att bygga ut modellen med ytterligare restriktioner. Exempelvis kan en investerare tänkas vilja ha en viss procentuell utdelning på portföljen varje år. Man kan då formulera en restriktion som uppfyller detta krav och lägga till den.

Vi har nu gått igenom teorin kring mean variance modellen och ska snart kalibrera vår egen portfölj enligt samma teori. Som tidigare nämnts i inledningen kommer vi senare i uppsatsen att göra en utvärdering av Nobelstiftelsens förvaltningsresultat. Teoridelen avslutas därför med ett avsnitt som lägger den teoretiska grunden till denna utvärdering. Utvärdering av förvaltares resultat är intressant då olika förvaltare kan ha diskrepans mellan sina resultat. De kan genom att tillämpa andra strategier nå bättre resultat än den ovan framräknade optimala portföljen. Förvaltare brukar förändra sina innehav över tiden och nyttja svängningar i marknaden. En förvaltare som ändrar sina innehav över tiden kan sägas följa en aktiv eller passiv strategi. En kort beskrivning av dessa strategier kan vara intressant för att få en förståelse för varför den ovan optimala portföljen inte behöver vara optimal.

2.5 Teoretisk utvärdering av förvaltares resultat

En portfölj kan förvaltas passivt eller aktivt och det tvistas om vilken strategi som ger bäst resultat. En passiv förvaltning betyder att man håller en portfölj enligt ett marknadsvägt index vilket är precis vad mean variance modellen handlar om. Därigenom kommer man att uppnå samma avkastning och risk som marknaden i genomsnitt. Grunden till denna strategi är att det är svårt att slå index genom att avvika från detsamma. Man antar att all information som finns tillgänglig är inbyggd i tillgångspriserna. Det finns alltså inget att tjäna på att avvika från marknaden. Ett flertal studier tyder också på att många förvaltare misslyckats i sina försök att slå index. Denna strategi har den fördelen att man får låga transaktionskostnader. Som exempel kan nämnas att det finns förvaltare som helt låter datorn bestämma vad som ska köpas och när det ska ske.

Den aktive portföljförvaltarens vikter skiljer sig från den genomsnittliga aktören då han anser sig kunna värdera tillgångar bättre än marknaden. Förvaltaren måste lyckas slå index med så mycket att de högre transaktionskostnaderna kan täckas. Ett annat sätt att aktivt förvalta en portfölj är att ändra portföljens systematiska, marknadsberoende, risk över tiden. Då en uppgång väntas höjs den systematiska risken och då man förväntar sig en nedgång sänks densamma. En ändring av den systematiska risken, exempelvis en höjning, kan uppnås genom att man säljer av en del av obligationsinnehavet och köper aktier för motsvarande summa.

Att rangordna olika förvaltares skicklighet kan verka enkelt vid första anblicken. Man jämför helt enkelt avkastningen för respektive aktör. Denna jämförelse är dock orättvis eftersom ingen hänsyn tas till den risk som tagits. Förvaltarna har troligtvis erhållit olika avkastning men också tagit olika risk. Det krävs därför att man utvecklar mått som kan användas för att jämföra aktörer med olika risk i sina portföljer. Vi redogör nedan för två sådana mått, Sharpes mått och differential return måttet.

2.5.1 Sharpes mått

Ett sätt att jämföra portföljer med olika risk har föreslagits av Sharpe. Måttet, ofta betecknat med , relaterar överavkastningen till portföljens standardavvikelse.

(2.29)

Överavkastningen definieras som den extra avkastning som erhålls som kompensation för att man tar på sig risk, det vill säga avkastningen på den riskfyllda portföljen minus avkastningen på den riskfria tillgången. Ju större överavkastningen är i förhållande till portföljrisken desto bättre har förvaltaren lyckats. Sharpemåttet är detsamma som riktningskoefficienten på linjen som förbinder en riskfylld portfölj med den riskfria tillgången. Alltså ju större riktningskoefficient desto bättre portföljförvaltning. Av portföljerna i figur 2.11 är alltså A bättre än B, och B bättre än C. Detta sätt att mäta är lämpligt för att utvärdera exempelvis allemansfonder. Man antar då att man investerar i fonden och sedan sparar eller lånar till riskfri ränta så att alla punkter på linjen från genom antingen A, B eller C kan uppnås. Vilken punkt på linjen som väljs beror på placerarens riskaversion. Med detta synsätt är det uppenbart att den fond vars portfölj ligger på den brantaste linjen erbjuder sina fondsparare högst avkastning tillgiven risk.

Figur 2.11 Portföljutvärdering enligt Sharpemåttet

Källa: Elton-Gruber (1991), s. 651.

2.5.2 Differential return

Detta mått används för att utvärdera en förvaltare vars uppdragsgivare bestämt att den förvaltade portföljen ska ha en viss risknivå. För förvaltaren finns då två möjliga alternativ. Det enklaste är att hålla en portfölj som är sammansatt på samma sätt som marknaden, den så kallade marknadsportföljen. För att uppnå den bestämda risknivån kan förvaltaren sedan spara eller låna till riskfri ränta. En mer krävande strategi är att istället hålla några väl valda tillgångar som man tror ska utveckla sig bättre än index. Valet av tillgångar begränsas naturligtvis av den uppsatta risknivån. Det är just denna förmåga att kunna välja ut tillgångar som mäts med hjälp av differential return måttet. I figur 2.12 nedan representerar den räta linjen alla möjliga kombinationer av marknadsportföljen (M) och den riskfria tillgången. De små punkterna representerar olika förvaltares portföljer i risk- och avkastningshänseende. Om portföljen ligger ovanför den räta linjen har förvaltaren lyckats bättre än vad han hade kunnat göra om han valt att investera i marknadsportföljen och sedan spara och låna. Hur mycket bättre, eller sämre, än marknaden framgår av det vertikala avståndet till den räta linjen.

Figur 2.12 Portföljutvärdering enligt differential return måttet

Källa: Elton-Gruber (1991), s. 655.

Formellt kan vi skriva,

, (2.30)

där parentesen är den riktningskoefficient vi tidigare diskuterat. Om man till exempel vill utvärdera portfölj D i figuren ovan sätter man in portföljens standardavvikelse i ekvation (2.30). Man erhåller då den avkastning man skulle kunna uppnå genom att hålla en del riskfri tillgång och en del marknadsportfölj. Vi befinner oss då i punkt D´. Differential return är sedan differensen mellan .

De två måtten, Sharpemåttet och differential return måttet, ger samma resultat om man vill jämföra en viss portfölj med marknadsportföljen. Om man däremot vill rangordna portföljer inbördes kan måtten ge olika resultat. Vilket mått man väljer beror på från vems synvinkel man vill se på saken. Sharpemåttet utgår från en kapitalägare som själv kan spara och låna för att anpassa risknivån. Kapitalägaren är alltså inte låst av den risknivå som förvaltaren har på sin fond. Differential return måttet används för att utvärdera en förvaltare vars uppdragsgivare inte sparar och lånar utan är bunden av den risknivå som förvaltaren har på sin portfölj.

Vi har nu teoretiskt beskrivit hur man kan få ett resultat av sin portföljförvaltning som avviker från marknadens och dessutom har vi tagit upp hur man kan utvärdera detta resultat. Vi kommer senare att applicera dessa teorier på Nobelstiftelsens förvaltningsresultat.

I detta kapitel har vi nu gått igenom en rad, för mean variance modellen viktiga definitioner. Sedan har vi med hjälp av dessa tagit fram effektiva fronter och optimala portföljer under olika restriktioner. Slutligen visade vi även olika jämförelsemått som vi kommer att använda senare i uppsatsen. Vi går nu över till att sätta ihop en egen portfölj. Det kapitlet kommer inte att bli så matematiskt då vi använder ett datorprogram för att utföra beräkningarna. Programmet utför dock beräkningarna på samma formella sätt som vi visat i detta kapitel.

3. Vår modellportfölj

Vi är nu redo att sätta samman vår egen modellportfölj enligt mean variance teorin. Det gör vi i detta kapitel som består av fyra delar. I den första delen, avsnitt 3.1, beskriver vi vilka tillgångar vi valt att ta med i vår modell. Här beskrivs också några av de problem vi har stött på i sökandet efter lämpliga tillgångar. I andra delen följer sedan en beskrivning av modellportföljens karakteristika. I tredje delen, ser vi hur vi har diversifierat bort risk i modellportföljen. Vi antar i dessa tre delar implicit att historiska tidsseriemönster i någon mån upprepar sig. I den sista delen för vi en diskussion kring detta antagande samt visar olika möjligheter att ta fram en korrelationsstruktur över ett antal tillgångar.

3.1 Index som spegel av marknader

När vi bygger upp vår modell bör vi enligt teorin ta med många tillgångar så att vi får en väldiversifierad portfölj. Vi kan dock bara ta med tillgångar som har tillförlitliga tidsseriedata. Man kan då exempelvis tänka sig aktier, obligationer och fastigheter, inte bara i Sverige utan även i andra länder med andra valutor. Det finns dock vissa problem med datadefinitioner och konstruktionen av avkastningsmått.

Låt oss börja med aktier. Bolag nyemiterar, genomför aktiedelningar, och ger utdelning mm. Det innebär ett stort arbete att justera tidsserierna för dessa effekter. Istället för att samla in data för enskilda aktier har vi därför valt att använda oss av olika typer av aktieindex. Det finns en mängd olika aktieindex som funnits under lång tid. Till de första index som togs fram hörde Dow Jones Industrial Average Index som har beräknats sedan 1896 och har fått stå som mall för ett flertal index världen över. Denna typ av index har dock den nackdelen att de inte är marknadsvärdevägda index. Dow Jones och liknande index beräknas i stället genom att slå ihop de enskilda priserna på de ingående aktierna utan hänsyn taget till antalet aktier. Vid en delning av ett aktieslag kommer t.ex. aktieslagets vikt i index att ändras trots att inget har hänt med företagets marknadsvärde. Sådana effekter är inte önskvärda i vår undersökning och vi väljer därför inte ett sådant index.

Standard & Poor's och Affärsvärldens generalindex representerar en annan typ av index; de marknadsvärdesvägda indexen. Dessa index påverkas inte av aktiedelningar och är därför väl lämpade som grund i vår empiriska studie. Nackdelen med de två ovan nämnda indexen är dock att de inte inkluderar utdelning. Detta för att Affärsvärldens generalindex är tänkt att användas för att utvärdera aktiers utveckling, inte förvaltares resultat. Eftersom direktavkastningen inte tas med i dessa index försvåras jämförelsen mellan olika placeringar som t.ex. aktier, fastigheter och obligationer. Detta är ett problem som vi måste ta oss runt för att kunna genomföra vår undersökning. Om inte aktiers direktavkastning tas med kommer aktiemarknadernas avkastning att underskattas och aktiemarknadens andel i vår optimala portfölj bli mindre än den borde. Problemet löser vi istället genom att anta en viss direktavkastning som vi justerar upp avkastningen med. Vi har använt månadsdata och spritt ut utdelningen jämt över året. Vi vet inte exakt hur stor direktavkastningen har varit på de olika börser som vi har med i vår studie utan har här gjort en approximation. Denna approximation ger liten effekt på vårt resultat vilket vi också kommer att visa i slutet på uppsatsen, där vi redovisar en känslighetsanalys av vår modell. De olika aktieindex vi valt att ha med i vår modell är Affärsvärldens generalindex i Sverige, Standard and Poors i USA, Dax index i Tyskland och Nikkei index i Japan. Dessa index har vi valt för att de är uppbyggda på liknande sett och de representerar fyra viktiga valutaområden. Vi har valt månadsdata eftersom det ger ett tillfredsställande antal observationer. Dessutom måste alla index vara uppmätta med samma intervall och det visade sig att månadsdata var lättast tillgängligt.

Vad gäller obligationer finns det andra typer av problem. Man måste fråga sig vilka obligationer som bör tas med, vilka löptider som ska medtas och hur länge man ska räkna en femårig obligation som femårig. Dessa problem kan man lösa med att även här låta ett index spegla utvecklingen. Vi har valt J.P Morgans bond index. Detta index finns i alla fyra länder vi valt att ha med i vår undersökning. Indexserierna är uppbyggda av respektive lands statsobligationer med olika löptider. Varje löptid har samma andel av index som löptiden har del i landets statsskuld. Indexen tar hänsyn till både kursförändringar och kupongutdelningar.

Även vad gäller fastigheter har vi valt index som spegel av den faktiska värdeförändringen. Dessa index består av fastighetsbolagsaktier som är noterade på respektive lands börser. Index har den fördelen att de ingående bolagen värderas kontinuerligt av marknadens aktörer och vi bedömer att de väl speglar avkastningen under respektive period. Dessa fastighetsindex måste liksom aktieindexen korrigeras för utdelning.

De fastighetsbolag som finns med i de index vi använder finns med i såväl aktieindexet och fastighetsindex. Effekten av detta blir att aktieindexet blir mer diversifierat än vad det borde vara och torde därmed ge lägre varians än annars. Vi tror dock att denna effekt är av blygsamt slag.

Vi har inte med någon fastighetstillgång i USA på grund av att det inte finns något fastighetsindex på amerikanska börsen. Av bland annat skatteskäl finns få fastighetsbolag på börsen. En placerare som vill placera i fastigheter har istället möjlighet att köpa andelar i real estate investment trusts, REIT:s. Dessa kan dock vara väldigt lokala och vi har inte lyckats hitta en representativ REIT för USA som helhet. I övriga länder har vi dock funnit fastighetsindex: I Sverige Sweden real estate share prices, i Japan Japan property index och i Tyskland FAZ index.

Vi har alltså totalt elva olika index i fyra olika länder. Varje data representerar respektive index värde per den första i respektive månad. Med hjälp av valutakurser från motsvarande tid har vi räknat om de utländska tidsserierna till svenska kronor. Genom att jämföra period t med period t-1 får vi fram den förväntade avkastningen i respektive period. Dessa avkastningar har vi sedan justerat upp med utdelning. Svenska och Tyska aktier och fastigheter har justerats med 2,5% på årsbasis. Japanska aktier och fastigheter med 1% per år och Amerikanska aktier med 2%. Vi har samlat in tidsseriedata avseende aktier för perioden januari -86 till och med april -96. Vad avser fastighetsindex och obligationsindex har vi data för perioden januari -88 till och med april -96. I den fortsatta framställningen kommer det att framgå vilka data som används vid olika jämförelser.

De tidsserier vi då fått fram har bearbetas med hjälp av det dataprogram vi använt enligt den metod vi beskrev i teoridelen. Vi erhåller då en korrelationsmatris. Denna kan analyseras intuitivt och slutsatser kan dras om vilka tillgångar som kan tänkas ingå i en optimal portfölj. Detta görs i inledningen till nästa avsnitt. Därefter följer datorstödda uträkningar av optimala portföljer under olika antaganden om in- och utlåning samt blankning. Dessa portföljers karakteristika diskuteras och kommenteras.

3.2 Kalibrering av portfölj

I kapitel 2 visade vi att de optimala portföljandelarna kan räknas fram med hjälp av en så kallad kovariansmatris där vi såg hur respektive tillgångar samvarierar med varandra. För intuitiva resonemang passar en korrelationsmatris bättre. I tabell 3.1 ser vi hur våra bearbetade tillgångar är korrelerade samt vilken förväntad avkastning och risk respektive tillgång har för tidsperioden januari -88 till och med april -96.

Ser vi på de två första kolumnerna, förväntad avkastning samt standardavvikelse ser vi att svenska obligationer har lägst standardavvikelse men inte lägst förväntad avkastning. Detta är positiva egenskaper och vi kan förvänta oss stora delar av svenska obligationer i de optimala portföljerna. Vi ser också att aktier är mer volatila än obligationer och att fastigheter är mer volatila än aktier. Fastigheter har trots detta inte högre förväntad avkastning. Detta är negativa egenskaper som också borde ge utslag i de optimala portföljerna. Vi ser också att alla tillgångar utom svenska och japanska fastigheter har positiv korrelation med varandra. Alla korrelationskoefficienter ligger dock en bra bit under plus ett, och vi bör därför kunna diversifiera bort en hel del unik risk.

Vi har nu beskrivit hur vi förväntar oss att de optimala portföljerna kommer att se ut. Låt oss nu se om våra förväntningar besannas genom att låta dataprogrammet räkna fram de optimala portföljerna. Vi har valt att analysera två fall som representeras av var sitt avsnitt nedan. I båda fallen är riskfri in- och utlåning tillåten medan blankning är tillåten enbart i det första fallet. Vi har valt att inte analysera alla de fyra möjliga restriktionskombinationer som beskrevs i förgående kapitel eftersom vi tror att detta inte tillför läsaren något extra.

3.2.1 Blankning och riskfri in- och utlåning tillåten

Datorprogrammet väger ihop våra tillgångar så att vi får fram en effektiv front som visas i figuren nedan. I modellen har vi räknat med en ränta på 0,57 % per månad vilket ger en effektiv årsränta på ca.7 %. Denna räntesats ger oss en optimal portfölj som kan ses i förstoringsglaset i figur 3.1. Den riskfria räntan påverkar alltså inte den effektiva fronten utan endast var någonstans längs med denna vår optimala portfölj hamnar.

Figur 3.1 Effektiv front, blankning och riskfri in- och utlåning tillåten.


Vi ser att den optimala portföljen kommer ha en förväntad avkastning på 1,455 % per månad och en risk på 2,288. Detta är i bägge avseenden bättre än att enbart hålla svenska aktier. Vår portfölj i figur 3.1 innehåller hundra procent riskfyllda tillgångar. En förvaltare som önskar hålla en portfölj med högre eller lägre risk kan då låna eller placera till den angivna räntan.

Hur är då vår optimala portfölj fördelad mellan tillgångarna i detta fall då vi tillåter både blankning och in- och utlåning till riskfri ränta? Portföljsammansättningen är svår att illustrera i en figur på grund av de negativa andelarna. Vi nöjer oss med tabellen nedan där fet stil markerar att tillgången är blankad.

Tabell 3.2 Optimala portföljandelar då vi tillåter blankning och riskfri in- och utlåning.

Japanska statsobligationer-JP Morgan Goverment Bond Index 23%
Svenska statsobligationer-JP Morgan Goverment Bond Index 98%
Tyska statsobligationer-JP Morgan Goverment Bond Index -19%
Amerikanska statsobligationer-JP Morgan Goverment Bond Index -50%
Svenska aktier-Affärsvärldens generalindex -8%
Japanska aktier-Nikkei Index -9%
Tyska aktier-Dax Index 25%
Amerikanska aktier-Standard & Poor 33%
Svenska fastigheter-Sweden Real Estate Share Prices -3%
Japanska fastigheter-Japan Property Index -2%
Tyska fastigheter-Faz Index 13%

Totalt +101%

Som vi ser kommer den optimala portföljen att innehålla stora positiva andelar av svenska obligationer, 98 %, samt stora negativa andelar amerikanska obligationer, -50 %. Den stora andelen svenska obligationer ligger i linje med våra tidigare förväntningar. Den stora negativa andelen amerikanska obligationer kunde vi inte gissa oss till när vi intuitivt betraktade tabell 3.1. Vi kan anta att detta beror på hur tillgångarna samvarierar. Detta kan även förklara varför portföljen innehåller större andelar fastigheter än amerikanska obligationer.

Låt oss nu se hur portföljen förändras om vi antar att blankning inte är tillåten.

3.2.2 Riskfri in- och utlåning, blankning ej tillåten

Som vi tidigare sagt är det inte alltid tillåtet att blanka sina tillgångar. Om vi endast får hålla positiva andelar av våra tillgångar kommer vi att få ett annat resultat. När vi inte tillåter blankning har vi lagt ytterligare restriktioner på vårt optimeringsproblem. Vi kommer få en optimal portfölj som ser annorlunda ut än den tidigare med lägre förväntad avkastning vid given risk. Låt oss betrakta figur 3.2. Den riskfria räntan är återigen 0,57% per månad.

Figur 3.2 Effektiv front, riskfri in- och utlåning tillåten, men inte blankning.


Den effektiva fronten har skjutits nedåt och ger därmed inte lika bra resultat som tidigare. Vi kommer dock fortfarande ha diversifierat bort den unika risken och resultatet är därmed fortfarande betydligt bättre än vad vi skulle fått om vi inte höll en hel portfölj med tillgångar. Vi kan visa detta genom att hålla 10% riskfri tillgång och 90% optimal portfölj. Vi får då samma risk som svenska obligationer, 1,560, och når en förväntad avkastning på 1,081%. Alltså fortfarande betydligt bättre. Åter igen har vi sett att vi kan diversifiera bort risk. Låt oss se hur tillgångarna fördelar sig i denna portfölj då blankning inte är tillåten. Då vi nu enbart har positiva tillgångsandelar väljer vi att presentera resultatet i diagramform.

Figur. 3.3


Vi ser att prediktionen vi gjorde tidigare, när vi betraktade tabell 3.1, beträffande svenska obligationer håller. Vi kommer alltså att hålla en stor del svenska obligationer, närmare 80%. Resterande del är nästan uteslutande tyska aktier och fastigheter vilket var svårare att förutsäga. Vi ser dessutom att de tillgångar vi tidigare blankade inte alls ingår i portföljen. Vi kan inte överlåta dessa tillgångars negativa karakteristika på någon annan aktör.

Portföljerna i avsnitt 3.2.1 och 3.2.2 har olika avkastning och risk samt består av olika portföljandelar. De har dock gemensamt att de har diversifierat bort delar av den unika risken i varje index. Detta ska vi titta närmare på i nästa avsnitt.

3.3 Diversifiering av risk i vår portfölj

Vi kan illustrera diversifieringen med hjälp av figur 3.4. Där har vi börjat med att bara hålla svenska obligationer och sedan lagt på tillgång efter tillgång i samma ordning som i tabell 3.1. Avkastningen har hållits konstant vid samma nivå som svenska obligationer och tillgångsvikterna har anpassats för att hela tiden vara optimala. Vi ser att risken minskar ju fler tillgångar vi håller.

Figur 3.4.


Genom den diversifiering vi har i vår portfölj kommer vi att minska ner respektive index unika risk. Portföljen har kvar den så kallade marknadsrisken, den systematiska risken. Jämför med figur 2.5. Portföljens systematiska risk kan man aldrig diversifiera bort men man kan få ner den genom att placera en del i den optimala portföljen och en del i riskfri tillgång som vi tidigare visat.

Vi har nu satt ihop vår modellportfölj med valda index och visat vilka resultat den ger. Vi har sett att vi får olika resultat beroende på vilka restriktioner vi lägger på modellen men vi ser att vi hela tiden får betydligt bättre resultat genom att vi diversifierar oss.

Mean variance modellen kan tillämpas på en mängd olika sätt. I kapitlets sista del försöker vi beskriva några av dessa. Alla sätt nyttjar diversifieringens fördelar men skiljer sig åt vid framtagandet av förväntad avkastning, risk och korrelationsstruktur. Dessa kan man ta fram genom att analysera olika typer av tidseriedata för att därigenom försöka göra kvalificerade gissningar om framtiden.

3.4 Olika tillämpningar av mean variance teorin

Ovan optimerade vi vår modellportfölj med hjälp av data från tidsperioden januari -88 till och med april -96. Vi förväntade oss sedan att vi skulle få samma utveckling i den påföljande perioden. En marknadsaktör som tillämpar samma teori kan gå tillväga på andra sätt. Han behöver inte hålla samma portfölj under hela den påföljande perioden utan kan löpande, till exempel månadsvis, väga in ny information samtidigt som man inte längre tar hänsyn till de tidigaste observationerna. Nya marknadsförhållanden skulle då successivt vägas in i den optimala portföljen som därmed förändras över tiden. Man kan även väga olika tidsperioder olika, exempelvis kan man ge de senare observationerna större vikt än de tidigare för att på så sätt snabbare fånga upp ändrade marknadsförhållanden. Man kan vidare tänka sig att nyttja mer avancerad tidsserianalys för att försöka finna mönster i olika korrelationsstrukturer över tiden.

Dessutom kan man tänka sig att analysera annat än tidsserier över portföljens olika tillgångar, som till exempel makroekonomiska variabler som konsumtion och sparande. Det kan även uppkomma andra fundamentala förändringar som gör att man vill vikta om sin portfölj, nya uppfinningar kan helt förändra vissa typer av marknader. Exempelvis har telekombranschen förändrats dramatiskt den senaste tioårsperioden.

Är det då möjligt att få bättre resultat än de som mean variance modellen ger? Det beror naturligtvis på hur man tillämpar teorin. I följande kapitel visar vi två enkla tillämpningar och jämför resultaten från dessa med en marknadsaktörs resultat.

4. Jämförelse mellan vår modell och aktör på marknaden

Detta kapitel syftar till att jämföra optimala portföljer uppbyggda enligt mean variance teorin med den portfölj som valts av en aktör på marknaden. Den aktör vi valt att jämföra oss med är Nobelstiftelsen. Aktören är lämplig som undersökningsobjekt eftersom den placerar på lång sikt och inte begränsas av någon större mängd regleringar vad gäller placeringar utomlands eller i riskfyllda tillgångar som t.ex. aktier. Ett annat skäl till att vi valt just denna aktör är att uppgifter om avkastning och tagna risker finns tillgängliga i Nobelstiftelsens årsredovisning. Uppgifter om olika aktörers risker är annars svåra att få tag på.

Nobelstiftelsens kapital är fördelat på tre olika tillgångsslag: Fastigheter, räntebärande papper och aktier. Fastigheterna ägs direkt av stiftelsen och alltså inte indirekt genom ett fastighetsbolag. Detta gör att fastighetsbeståndet inte finns noterat på en börs och värderas därför ej dagligen eller månatligt. Fastigheternas värde blir därför en uppskattning. Det faktum att regelbundna och tillförlitliga uppgifter på fastigheternas värde inte finns tillgängliga gör att risken i fastighetsbeståndet blir omöjlig att bedöma.

Vi har inte heller lyckats få tag på uppgifter om avkastning och risk i Nobelstiftelsens räntebärande papper. Dessa data skulle teoretiskt sätt gå att räkna fram men finns inte medtagna i Nobelstiftelsens årsredovisning. Ett skäl till detta kan vara att de räntebärande pappernas förfallostruktur har anpassats till stiftelsens planerade utgifter över tiden. Att mäta risken som standardavvikelse blir då ointressant.

Vad gäller portföljens aktieandel finns dock uppgifter att tillgå. I årsredovisningen för -95 finns genomsnittlig avkastning och risk per år angivna för tidsperioden -91 till och med -95:

Avkastning (%): 17,6
Standardavvikelse (%): 16,3

Dessa data har vi använt för att göra två olika jämförelser med aktietillgångarna i vår modellportfölj från föregående kapitel.

I den första jämförelsen använder vi oss av data över aktiemarknadernas utveckling under perioden januari -86 till och med december -90. Med hjälp av dessa data bestäms tillgångarnas förväntade framtida avkastning, risk samt korrelationen dem emellan. Utifrån detta sätter vi samman en optimal portfölj. Vi antar sedan att nämnda period kommer att upprepa sig under den följande femårsperioden, som överenstämmer med den period som Nobelstiftelsen redovisar data för. Vårt antagande implicerar att den optimala portföljen även borde vara optimal i denna period.

I den andra jämförelsen utgår vi från den portfölj som verkligen var optimal i den följande perioden. Portföljen kan alltså sägas vara sammansatt i efterhand då utvecklingen under perioden redan var känd. Denna portföljs egenskaper jämförs sedan med Nobelstiftelsens portfölj.

Kapitlets avslutas sedan med en del som behandlar orsakerna till de framkomna resultaten samt en del där vi genomför en känslighetsanalys av våra tillämpningar.

4.1 Nobelsstiftelsen kontra aktiedelen av modellportföljen - kalibrering och utvärdering i skilda perioder

Vi har här satt samman en portfölj som bygger på tidsseriedata för perioden januari -86 till och med december -90. Tidsperioden är vald för att i längd överensstämma med den period vi jämför oss med. Om vi i januari -91 hade satt ihop en optimal portfölj enligt ovan skulle den fått det utseende som figur 4.1 visar.

Figur 4.1


Vi har här inte tillåtit blankning och vi har valt samma nivå som tidigare på den riskfria räntan, 0,57% per månad. Vi ser att vi fick fram att vi borde hålla stora delar japanska och svenska aktier under perioden -91 till och med -95 om vi trodde att perioden -86 till och med -90 skulle upprepa sig. Denna portfölj skulle i perioden -91 till och med -95 ha fått följande egenskaper:

Avkastning(%): 13,4
Standardavvikelse(%): 112,8



Vi ser direkt att dessa egenskaper är betydligt sämre än Nobelstiftelsens och vi behöver därför inte utvärdera dessa enligt våra jämförelsemått. Det kan dock vara intressant att se hur en optimal portfölj skulle ha sett ut om vi kalibrerade portföljen då periodens resultat redan var känt. Vi får då även ett annat perspektiv på Nobelstiftelsens resultat.

4.2 Nobelstiftelsen kontra aktiedelen av modellportföljen - kalibrering och utvärdering i samma period

Vi har satt ihop en portfölj på samma sätt som ovan med den skillnaden att ingående data härrör sig ifrån perioden -91 till och med -95. Vi har inte tillåtit blankning och har valt en riskfri ränta på 0,57% per månad precis som tidigare. Portföljen får då det utseende som visas i figur 4.2.

Figur 4.2


Denna portfölj med 100% riskfyllda tillgångar får då följande egenskaper.

Avkastning (%): 20,3
Standardavvikelse (%): 15,5

Vi ser direkt att vi här nått ett bättre resultat än Nobelstiftelsen. Vi har ju uppnått en högre avkastning (20,3% jämfört med 17,6%) och lägre risk (15,5% jämfört med 16,3%). Resultaten är dock betydligt jämnare än i tidigare jämförelse. Det kan därför vara intressant att utvärdera resultaten enligt de jämförelsemått som beskrevs i teoridelen. Låt oss börja med Sharpes mått.

Som tidigare nämnts bygger Sharpemåttet på antagandet att man kan kombinera den utvärderade portföljen med negativa eller positiva andelar av en riskfri tillgång. De räta linjerna i figur 4.3 representerar olika kombinationer av respektive portfölj och den riskfria tillgången.


Figur 4.3


Som synes ger kombinationer av vår portfölj och den riskfria tillgången högre avkastning vid given risk än vad kombinationer av Nobelstiftelsens portfölj och riskfri tillgång ger vid samma risk. Ett annat sätt att säga det är att lutningen på linjen från den riskfria tillgången genom vår portfölj är högre än motsvarande linje för Nobelstiftelsen. Med andra ord betyder detta att om man som privatperson skulle placera pengar enligt mean variance modellen och sedan själv anpassa risknivån genom att själv spara eller låna till riskfri ränta, skulle man få ett bättre utfall än om man lät Nobelstiftelsens förvaltare placera ens pengar och på samma sätt anpassa risknivån. I praktiken förvaltar dock inte Nobelstiftelsen något annat kapital än sitt eget vilket gör att kombinationer av Nobelportföljen och den riskfria tillgången inte finns i verkligheten. Nobelsstiftelsen bestämmer själv den risknivå som dess portfölj ska ha. Enligt vad som tidigare sagts passar differential return måttet bättre vid utvärdering av sådana förvaltare än vad Sharpemåttet gör. Låt oss därför även se på detta mått.

I figur 4.4 har vi återigen prickat in de två portföljerna i ett diagram med standardavvikelsen på X-axeln och förväntad avkastning på Y-axeln. Jämförelsen görs nu vid den risknivå som Nobelstiftelsen har i sin portfölj. Modellportföljen har anpassats till denna risknivå genom att vi lånat till riskfri ränta. Vi har placerat 105% i optimal portfölj och erhåller därmed samma risk som Nobelstiftelsen. Avkastningen blir då 21,1% per år vilket ska jämföras med Nobelstiftelsens 17,6%. Differential return blir 3,5% per år, (21,1-17,16) till vår fördel.


Figur 4.4


Det är även intressant att se hur de optimala portföljvikterna skiljer sig åt mellan avsnitt 4.1 och 4.2. Då portföljen sattes samman på grundval av data från perioden -86 till och med -90 skulle vi enbart hålla japanska och svenska aktier, vilket vi såg i figur 4.1. I den andra jämförelsen, då portföljen sattes ihop i efterhand, såg vi i figur 4.2 att vi borde ha hållit stora delar Amerikanska och Tyska aktier, vilket är tvärtemot vad vi skulle ha förväntad oss i januari -91.

Vi förstår alltså att världen är föränderlig och att det är svårt att förutsäga framtiden. I exemplet ovan valde vi tidsperioden helt godtyckligt. Man kan genom avancerad tidsserieanalys hitta vissa mönster som man kan nyttja i framtiden. Exempelvis är vissa tillgångar mer konjunkturkänsliga än andra, och vissa tillgångar mer räntekänsliga. Men vi har här åtminstone påvisat hur beroende mean variance modellen är av att olika mönster upprepar sig över tiden.

Att Nobelstiftelsen lyckades slå vår på förhand valda modellportfölj kan alltså mycket väl bero på den tidsperiod vi valt. Vi kan även finna helt andra orsaker till Nobelstiftelsen resultat. Vi beskriver dessa i nästa avsnitt.

4.3 Orsaker till Nobelstiftelsens resultat

Avvikelser i de uppnådda resultaten kan ha flera orsaker. Exempelvis följer Nobelstiftelsen en aktiv portföljstrategi, vilket betyder att de dels ändrar sina portföljvikter över tiden, dels håller aktieandelar som avviker från indexen på de nationella marknaderna. De kan sälja i Sverige och köpa i USA när de anser det gynnsamt eller utesluta några bolag från varje lands aktieportfölj. Vi har valt att sätta ihop vår modellportfölj med olika index . Indexen håller vi sedan i olika andelar som dessutom är konstanta över tiden. Jämförelsen blir alltså till viss del en utvärdering om det lönat sig för Nobelstiftelsen att aktivt ändra sina portföljandelar och noggrant välja ut aktier.

En annan orsak till att Nobelstiftelsens resultat kan avvika från vårt är att vi definierar mängden av möjliga investeringsalternativ olika. I sin årsredovisning delar stiftelsen upp aktieinnehavet i fem delar: Sverige, Europa exklusive Sverige, USA, Japan och tillväxtmarknader. Portföljandelarna kan vi se i figur 4.5. Denna uppdelning avviker från vår på två sätt. Vi tar överhuvudtaget inte med tillväxtmarknader i vår modell och Europa har vi bytt ut mot Tyskland.

Figur 4.5


Låt oss jämföra Nobelstiftelsens portföljviktning med våra två olika portföljviktningar. För att Nobelstiftelsens portfölj ska kunna jämföras med procentandelarna i de två övriga gör vi antaganden som kan kritiseras hårt men som måste göras för att undersökningen ska bli möjlig. Vi antar att den andel som består av tillväxtmarknader inte påverkar hur den övriga aktieportföljen sätts samman. Därmed kan tillväxtmarknaderna uteslutas vid jämförelsen. Om dessutom hela Europas börsutveckling antas representeras av det tyska Dax indexet så har vi fullt jämförbara portföljer. Rimligheten i dessa antagande kan naturligtvis diskuteras men vi tycker ändå att jämförelsen blir intressant. I figur 4.6 ser vi Nobelstiftelsens portfölj då tillväxtmarknaderna uteslutits.

Figur 4.6


Låt oss först jämföra Nobelstiftelsens portföljandelar i figur 4.6 med andelarna i den modelportfölj som baserade sig på tidsperioden -86 till och med -90 och som illustrerades i figur 4.1. Vi ser att de skiljer sig kraftigt åt. I vår portfölj skulle vi enbart hålla japanska och svenska aktier medan Nobelstiftelsen investerade 21% respektive 19% i dessa länder. Nobelstiftelsen hade dessutom stora andelar investerade i USA och Europa exklusive Sverige.

Jämför man sedan Nobelstiftelsens portföljandelar i figur 4.6 med andelarna i vår i efterhand framtagna portfölj, som vi illustrerade i figur 4.2, ser vi att de även här skiljer sig åt vad beträffar de andelar man valt av de olika marknaderna. Nobelstiftelsen är överviktad i den svenska och den japanska marknaden (+3% respektive +21%) samt underviktad i den amerikanska och den tyska (europeiska) marknaden (-21% respektive -3%). Notera att i figur 4.2 saknas japanska aktier.

Tidsperioden vi valt att analysera, 86-96, har vi valt på grundval av vår begränsade tillgång till data. Perioden är makroekonomiskt väldigt orolig. Stora svängningar i de stora europeiska valutorna medförde stora svängningar på såväl obligationsmarknaderna som på aktiemarknaderna. Inte minst hösten -92 var väldig orolig i Sverige. Kronan släpptes fri i november samma år, vilket medförde att utländska tillgångar i ett slag steg kraftigt i värde räknat i svenska kronor. Svenska aktier blev även billiga för utländska investerare och de stora svenska exportbolagen fick dessutom kraftig draghjälp av den svaga kronan vilket medförde att svenska aktiemarknaden fick en gynnsam miljö. Allt detta har inverkat på resultatet. Skulle vi ha jämfört två andra femårsperioder, exempelvis under 60- talet, då vi hade mer stabila marknader, skulle vi troligtvis fått ett annat resultat. Vår första tillämpning av mean variance modellen borde då ha klarat sig betydligt bättre.

Vi måste också komma ihåg att vi gjorde en del approximationer när vi kalibrerade våra modellportföljer. Låt oss därför i nästa avsnitt se hur pass känsliga våra resultat har varit för dessa.

4.4 Känslighetsanalys

De approximationer vi gjorde berörde såväl utdelning som val av riskfri ränta. Låt oss börja med utdelningen. Ett sätt att undersöka om den utdelning vi lade på respektive index har fått någon effekt på portföljens egenskaper är att använda oss av Sharpes mått. Vi ser i figur 4.7 på två portföljer, den undre utan utdelning och den övre med utdelning. I bägge fallen har vi använt tidsseriedata för perioden januari -88 till och med april -96 och vi tillåter inte blankning. Den riskfria räntan har vi som vanligt satt till 0,57 % per månad och vi har använt samtliga i modellportföljen ingående tillgångar.

Figur 4.7


Vi ser att utdelningen knappt har någon betydelse för portföljens resultat. När vi tagit bort utdelningen har kovariansstrukturen förändrats och de optimala portföljandelarna förändrats. Därav uppstår skillnad i risknivå hos de olika portföljerna vilket även syns i figur 4.7.

Låt oss sedan se på modellens känslighet för val av riskfri ränta. Vi kan här enkelt använda oss av en figur som visar den effektiva fronten samt två olika nivåer på den riskfria räntan. I figur 4.8 har vi valt 0,5% respektive 0,8% på månadsbasis. Tangeringspunkten på effektiva fronten ändras hela tiden beroende av val av räntenivå. Valet av räntenivån kan alltså få stor betydelse.

Figur 4.8

5. Sammanfattning och slutsatser

En av grundstenarna i mean variance teorin är att man kan nå en lägre risk vid given förväntad avkastning genom att skapa en portfölj av tillgångar, vilket vi visade i teori avsnittet. Möjligheten att diversifiera bort unik risk ville vi nyttja då vi satte samman vår egen modellportfölj. Vi försökte därför ta med ett så stort antal tillgångar som möjligt, som dessutom var internationellt diversifierade. Det framkom också att vi helt enligt teorin lyckats diversifiera bort unik risk genom att hålla ett flertal tillgångar. På grund av detta kan vi enligt mikroteorin om riskaversion acceptera lägre avkastning.

Framtida avkastning är osäker, men man bör ändå kunna göra kvalificerade gissningar om denna genom att analysera historiska data. Vi visade i kapitel 3 hur man praktiskt kan gå tillväga för att finna en optimal portfölj. Denna portfölj är optimal enligt en tillämpning av mean variance teorin. Vi förde i slutet av kapitel 3 en diskussion kring andra tillämpningar. Det finns dessutom andra teorier som kan ligga till grund för portföljförvaltning. Vi jämförde därför i kapitel 4 optimala portföljer uppbyggda enligt nämnda teori med Nobelstiftelsens aktieportfölj. Jämförelsen gjordes med två olika tillämpningar.

Den första tillämpningen bestod i att genomföra kalibrering och utvärdering i skilda perioder. Data hämtades från perioden -86 till och med -90. Dessa data användes sedan för att bestämma olika marknaders risk, avkastning samt korrelationen dem emellan. Enligt denna tillämpning av mean variance teorin upprepar sig historien och vi antar alltså här att femårsperioden -86 till och med -91 kommer att spegla den följande femårsperioden, -91 till och med -95. Kalibreringen av portföljen visade att vi endast skulle hålla japanska och svenska aktier. Dessa portföljandelar visade sig dock inte vara så lyckade att hålla under den påföljande femårsperioden. Vi fick med denna portfölj en låg avkastning och dessutom en hög risk jämfört med Nobelstiftelsens portfölj.

Den andra tillämpningen bestod i att kalibrera och utvärdera i samma period. Jämförelsen kan då sägas vara gjord i efterhand eftersom de optimala portföljandelarna bestämts då utvecklingen på aktiemarknaden under perioden var känd. Som man kunde ha väntat sig uppnådde denna tillämpning ett bättre resultat än både Nobelstiftelsen och den första tillämpningen.

En av slutsatserna av de två undersökningarna blir att historien inte upprepade sig i dessa fall. Kanske berodde detta på att vi valt fel tidsperiod som spegel av undersökningsperioden. Dessa perioder karakteriserades av makroekonomisk turbulens vilket har påverkat resultaten. Kanske krävs det mer avancerad tidsserieanalys. Eller så kan resultatet helt enkelt vara ett tecken på att historien inte upprepar sig så som vi antog i vår första tillämpning av mean variance modellen.

Vi noterar också att Nobelstiftelsen hade i jämförelserna ett större urval av aktier vilket enligt teorin bör ge ett bättre resultat eftersom man på så sätt får en mer väldiversifierad portfölj. Stiftelsens aktiva förvaltningsstrategi kan också ha bidragit till det för dem fördelaktiga resultatet i den första jämförelsen. Valet av riskfri ränta har dessutom påverkat utfallet.

Som avslutning kan sägas att man bör ha en väldiversifierad portfölj för att minska dess risk precis enligt mean variance teorin. Det är dock inte så lätt att förutspå vad som kommer att hända i framtiden på grundval av historiska data. Andra förvaltningsstrategier som används av aktörer på marknaden kan därför ibland ge bättre resultat än tillämpningar av mean variance modellen.

Källförteckning

Edwin J. Elton & Martin J. Gruber, (1991), Modern portfolio theory and investment analysis, John Wiley and sons inc., fjärde upplagan.

Richard A. Brealey and Stewart C. Myers, (1996), Principles of corporate finance, Mc Graw-Hill, femte upplagan.

Hugh Gravelle and Ray Rees, (1992). Microeconomics, Longman group ltd, andra upplagan.

Nobelstiftelsens årsredovisning 1995,1996.

JP.Morgans hemsida, http://www.jpmorgan.com/MarketDataInd/GovernBondIndex/GovernBondIndex.html#index

Affärsvärldens hemsida, http://www.afv.se

Svenska Dagbladet, Näringsliv, Söndagar

The investment portfolio, dataprogram framställt av Edwin J. Elton, Martin J. Gruber och Christopher R. Blake i samarbete med IntelliPro, inc.